Question

( (本小题满分12分) 如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，

 .

（Ⅰ）若D为AA₁中点，求证：平面B₁CD平面B₁C₁D；

（Ⅱ）若二面角B₁—DC—C₁的大小为60°，求AD的长.

Answer

Ⅰ）∵，∴，

又由直三棱柱性质知，∴平面ACC1A1.∴……①   ……………3分

由D为中点可知，，

∴即……②………………………5分

由①②可知平面B1C1D，又平面B1CD，故平面平面B1C1D. … 6分

（Ⅱ）由（1）可知平面ACC1A1，如图，在面ACC1A1内过C1作，交CD或延长线或于E，连EB1，由三垂线定理可知为二面角B1—DC—C1的平面角，………………8分

∴由B1C1=2知，，          …………………10分

设AD=x，则∵的面积为1，∴，

解得，即                  ……………………………………12分

【解析】略