Question

（本小题满分14分）已知函数，其中．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求的单调区间；

（Ⅲ）证明：对任意的在区间内均存在零点．

Answer

【解析】
（Ⅰ）当时，

，……………………2分

    ,

所以曲线在点处的切线方程为.         ……………4分

   （Ⅱ），令，解得 ……………6分

    因为，以下分两种情况讨论：      

   （1）若变化时，的变化情况如下表：

+

+

所以，的单调递增区间是的单调递减区间是.………8分

（2）若，当变化时，的变化情况如下表：

+

+

所以，的单调递增区间是的单调递减区间是……………………………………………10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，

以下分两种情况讨论：

（1）当时，在（0，1）内单调递减，

.

所以对任意在区间（0，1）内均存在零点.………………………12分

（2）当时，在内单调递减，在内单调递增，

若,

.   所以内存在零点.

若.

,         所以内存在零点.  …………………13分

所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点.

综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点.   …………………14分

【解析】略