Question

（本小题满分12分）已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且.

（1）求椭圆方程；

（2）求的取值范围．

Answer

【解析】
（1）设C：＋＝1（a>b>0），设c>0，c2＝a2－b2，由条件知a-c＝，＝，………1分

∴a＝1，b＝c＝     ………………………………………3分

故C的方程为：y2＋＝1             ……………………………4分

（2）当直线斜率不存在时：      ……………………………………5分

当直线斜率存在时：设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）

得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0     …………………6分

Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*）………………7分

x1＋x2＝， x1x2＝         …………………………………8分

∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴

消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0……………………9分

整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0                       

m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝，       …………………10分

∴k2＝0，∴或

高三数学（理工类）参考答案第3页（共4页）

把k2＝代入（*）得或

 ∴或          ……………………………………11分

综上m的取值范围为或 ……………………………12分

【解析】略