Question

一条斜率为1的直线与离心率e=的椭圆C：交于P、Q两点，直线与y轴交于点R，且，求直线和椭圆C的方程；

Answer

∵e＝，∴＝，a2＝2b2，则椭圆方程为＋＝1，设l方程为：y＝x＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

故有Δ＝16m2－4×3(2m2－2b2)＝8(－m2＋3b2)＞0

∴3b2＞m2(*)

x1＋x2＝－m(1)

x1x2＝(m2－b2)(2)

又·＝－3得x1x2＋y1y2＝－3，

而y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2，

所以2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝－3⇒ (m2－b2)－m2＋m2＝－3，∴3m2－4b2＝－9(3)

又R(0，m)，＝3，(－x1，m－y1)＝3(x2，y2－m)

从而－x1＝3x2(4)

由(1)(2)(4)得3m2＝b2(5)

由(3)(5)解得b2＝3，m＝±1适合(*)，

∴所求直线l方程为y＝x＋1或y＝x－1；椭圆C的方程为＋＝1

【解析】略