Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。

（1）求证：AC⊥SD；

（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小

（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。

Answer

解法一：

（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC。

在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，

得AC⊥SD。

（Ⅱ）设正方形边长a，则SD=。

又OD=，所以SOD=60°，

连OP，由（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，且AC⊥OD，所以POD是二面角P-AC-D的平面角。由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，所以POD=30°，

即二面角P-AC-D的大小为30°。

（Ⅲ）在棱SC上存在一点E，使BE//平面PAC

由（Ⅱ）可得PD=，故可在SP上取一点N，使PN=PD，过N作PC的平行线与SC的交点即为E。连BN。在△BDN中知BN//PO，又由于NE//PC，故平面BEN//平面PAC，得BE//平面PAC，由于SN：NP=2：1，故SE：EC=2：1。

解法二：

（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD，

以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，

建立坐标系O-xyz如图。设底面边长为a，则

（2）由题意知面PAC的一个法向量为

（3）在棱SC上存在一点E使BE//面PAC

由（2）知为面PAC的一个法向量，且设E（x,y,z）

【解析】略