Question

(12分)如图，在四棱锥中，底面，

，，是的中点．

（Ⅰ）求和平面所成的角的大小；

（Ⅱ）证明平面；

（Ⅲ）求二面角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）【解析】
在四棱锥中，因底面，平面，故．

又，，从而平面．故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角．

在中，，故．

所以和平面所成的角的大小为．

（Ⅱ）证明：在四棱锥中，

因底面，平面，故．

由条件，，面．又面，．

由，，可得．是的中点，，

．综上得平面．

（Ⅲ）【解析】
过点作，垂足为，连结．由（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．

因此是二面角的平面角．由已知，得．设，得

，，，．

在中，，，则

．在中，．

【解析】略