Question

如图，在直三棱柱ABC-中，，D，E分别为BC，的中点，的中点，四边形是边长为6的正方形.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明：连结，与交于O点，连结OD.

因为O，D分别为和BC的中点，

所以OD//。

又OD，  ，

所以.…………………………4分

（2）证明：在直三棱柱中，

，

所以.

因为为BC中点，

所以又，

所以.

又

因为四边形为正方形，D，E分别为BC，的中点，

所以.

所以.      所以

（3）【解析】
如图，以的中点G为原点，建立空间直角坐标系，

则A（0，6，4），E（3，3，0） ，C（-3，6，0） ，.

由（Ⅱ）知为平面的一个法向量。

设为平面的一个法向量，

由

令，则.

所以.

从而.

因为二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为

【解析】略