Question

如图，在正三棱柱中， 是的沿长线上一点，过三点的平面交于，交于 

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）当平面平面时，求的值.

Answer

（Ⅰ）因为∥，在平面外，所以∥平面；……2分

是平面与平面的交线，所以∥，故∥；…………4分

而在平面外，所以∥平面……6分

注：不写“在平面外”等条件的应酌情扣分；向量方法按建系、标点、求向量、算结果这四个步骤是否正确来评分.

（Ⅱ）解法一：取中点、中点则由∥知

在同一平面上，并且由知而与（Ⅰ）同理可证平行于平面与平面的交线，因此，也垂直于该交线，但平面平面，所以平面，…………8分

于是，∽

…………10分

即…………12分

注：几何解法的关键是将面面垂直转化为线线垂直，阅卷时应注意考生是否在运用相关的定理.

（Ⅱ）解法二：如图，取中点、中点.  以为原点，为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系.

则在平面中,，向量

设平面的法向量，则由即

得………8分

在平面中,，向量

设平面的法向量，由

得…10分

平面平面，，即………12分

注：使用其它坐标系时请参考以上评分标准给分

【解析】略