Question

已知椭圆的左、右焦点分别为，， 点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，证明：直线过定点（）．

Answer

（Ⅰ）由已知可得 ，

所求椭圆方程为．           ……4分

（Ⅱ）若直线的斜率存在，设方程为，依题意．

设，，

由  得 ．  ……6分

则． 由已知，

所以，即．  ……8分

所以，整理得 ．

故直线的方程为，即（）．

所以直线过定点（）．        ………10分

若直线的斜率不存在，设方程为，

设，，由已知，

得．此时方程为，显然过点（）．

综上，直线过定点（）．

【解析】略