Question

已知函数，其定义域为（）.

（Ⅰ）试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；

（Ⅱ）求证：对于任意的,总存在，满足,并确定这样的的个数.

Answer

（Ⅰ）因为……2分

由；由,所以在上递增,在上递减……4分

要使在上为单调函数,则……6分

（Ⅲ）证：因为，所以，即为,

令,从而问题转化为证明方程=0在上有解,并讨论解的个数……8分

   因为,,所以

①当时,,所以在上有解,且只有一解

②当时,,但由于,

所以在上有解,且有两解……10分

③当时,,所以在上有且只有一解；

当时,,

所以在上也有且只有一解……12分

综上所述, 对于任意的,总存在,满足,

且当时,有唯一的适合题意；当时,有两个适合题意

【解析】略