Question

（本小题满分12分）二次函数f（x）满足且f（0）=1.

(1)求f（x）的解析式;

(2)在区间上,y= f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的范围.

Answer

【解析】
(1)设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1.

∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x.

即2ax+a+b=2x,所以,∴f(x)=x2-x+1.

(2)由题意得x2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立.即x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立.

设g(x)= x2-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=,所以g(x) 在[-1,1]上递减.

故只需g(1)>0,即12-3×1+1-m>0,解得m<-1.        

【解析】略