Question

已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x²+x)=f(x)－x²+x.

（Ⅰ）若f(2)＝3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);

（Ⅱ）设有且仅有一个实数x₀,使得f(x_0­)= x_0,求函数f(x)的解析表达式.

Answer

【解析】
（Ⅰ）因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2 + x)=f(x)－ x2 +x，

所以f(f(2)－ 22+2)=f(2)－22+2.

又由f(2)=3，得f(3－22+2)－3－22+2，即f(1)=1.

若f(0)=a，则f(a－02+0)=a－02+0，即f(a)=a.

（Ⅱ）因为对任意x∈R，有f(f(x))－x2 +x)=f(x)－x2 +x.

又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)- x0.所以对任意xεR，有f(x)－x2 +x= x0.

在上式中令x= x0,有f(x0)－x + x0= x0,

又因为f(x0)－ x0，所以x0－x=0，故x0=0或x0=1.

若x0=0，则f(x)－ x2 +x=0，即f(x)= x2 －x.

但方程x2 －x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x2≠0.

若x2=1,则有f(x)－x2 +x=1，即f(x)= x2 －x+1.易验证该函数满足题设条件.

综上，所求函数为f(x)= x2 －x+1（xR）

【解析】略