Question

(本小题满分12分)

已知 F₁、F₂是椭圆的两焦点，是椭圆在第一象限弧上一点，且满足=1.过点P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点.

（1）求P点坐标;

（2）求证直线AB的斜率为定值;

（3）求△PAB面积的最大值.

Answer

（1）由题可得F1(0, ), F2(0, －), 设P(x0, y0)(x0>0, y0­>0)

 则

                     ………………2分在曲线上，

 则

 则点P的坐标为（1，）                     ………………4分

   （2）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为k(k>0)

则BP的直线方程为：y－=k(x－1)

                     ………………6分

AB的斜率为定值             ………………8分

   （3）设AB的直线方程：

     ……………9分

                             ……………10分

当且仅当m=±2∈（－2，2）取等号

∴三角形PAB面积的最大值为                     ………………12分

【解析】略