Question

(本题满分14分)如图，在棱长为的正方体中，

为线段上的点，且满足.

  （Ⅰ）当时，求证：平面平面；

（Ⅱ）试证无论为何值，三棱锥的体积恒为定值；

  （Ⅲ）求异面直线与所成的角的余弦值.

Answer

方法一、证明：（Ⅰ）∵正方体中，面，

又∴平面平面，      ∵时，为的中点，∴， 又∵平面平面，∴平面，

又平面，∴平面平面．……………5分

（Ⅱ）∵， 为线段上的点，

∴三角形的面积为定值，即，

又∵平面∴点到平面的距离为定值，

即，    ∴三棱锥的体积为定值，

即．

也即无论为何值，三棱锥的体积恒为定值；         ……………10分

（Ⅲ）∵由（Ⅰ）易知平面，又平面，∴，               即异面直线与所成的角为定值，从而其余弦值为．      ……………14分

方法二、如图，以点为坐标原点，建立如图所示的坐标系．

（Ⅰ）当时，即点为线段的中点，则，又、

∴，，设平面的法向量为……1分

则，即，令，

解得，……2分

又∵点为线段的中点，∴，

∴平面，

∴平面的法向量为，                        ………3分

∵，

∴平面平面，                           ………………………6分

（Ⅱ）略；                                            ………………………10分

（Ⅲ）∵，∴，       ………………………11分

又、、，∴，…12分

∵                          ……………………13分

∴不管取值多少，都有，

即异面直线与所成的角的余弦值为0.                      ……………14分

【解析】略