Question

（本小题满分14分）

在如图所示的多面体中，⊥平面， ,，，

，，，是的中点．

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer

（1） 解法1

证明：∵平面，平面，

∴，                                

又，平面，

∴平面.     …………2分

过作交于，则平面.

∵平面，

∴.            …………4分

∵，∴四边形平行四边形，

∴，

∴，又，

∴四边形为正方形，

∴，                                        ……………6分

又平面，平面,

∴⊥平面.                            ………………………7分

∵平面,

∴.                             ………………………8分

（2）∵平面，平面

∴平面⊥平面

由（1）可知

∴⊥平面

∵平面

∴                              ……………………9分

取的中点，连结，

∵四边形是正方形，

∴

∵平面，平面

∴⊥平面

∴⊥

∴是二面角的平面角，    ………………………12分

由计算得

∴            ………………………13分

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.………………………14分

解法2

∵平面，平面，平面，

∴，，

又,

∴两两垂直.   ……………………2分

以点E为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

由已知得，（0，0，2），（2，0，0），

（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2），

（2，2，0）.      …………………………4分

∴，，………6分

∴,    ………7分

∴.    …………………………8分

（2）由已知得是平面的法向量.       ………………………9分

设平面的法向量为，

∵，

∴，即，令,得. ……………12分

设平面与平面所成锐二面角的大小为，

则  …………………………13分

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.  …………………………14分

【解析】略