Question

如图，三棱锥中，底面，，，为的中点，点在上，且.

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值.

Answer

（1）证明：∵底面，且底面，

∴             …………………1分

由，可得      …………………………2分

又 ，

∴平面                               …………………………3分

注意到平面，

∴                                …………………………4分

,为中点，

∴                               …………………………5分

 ， 平面       …………………………6分

  而平面，

∴                       …………………………7分

（2）方法一、如图，以为原点、所在直线为轴、为轴建立空间直角坐标系.

则          …………………………8分

.       …………………………10分

设平面的法向量.

由得，

即……………（1）

      ……………（2）

取，则，.    …………………………12分

取平面的法向量为

则，

故平面与平面所成角的二面角（锐角）的余弦值为.     ……………14分

方法二、取的中点，的中点，连接，

    ，，∴.       ……………8分

    ，

∴.             ……………9分

   同理可证：.  又，

∴.…………10分

则与平面所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面与平面所成的二面角的平面角（锐角）

已知，，平面

∴，∴                     …………11分

又，∴平面

由于平面， ∴

而为与平面的交线，

又底面，平面

为二面角的平面角                                …………12分

根据条件可得，

在中，

 在中，由余弦定理求得                                    …………13分

故平面与平面所成角的二面角（锐角）的余弦值为.                …………14分

【解析】略