Question

设,函数.

(1) 若，求曲线在处的切线方程；

(2) 若无零点,求实数的取值范围；

(3) 若有两个相异零点,求证: .

Answer

【解析】
方法一在区间上,.                          ……………………1分

（1）当时，，则切线方程为，即 …………3分

（2）①若,则,是区间上的增函数,  

,,

,函数在区间有唯一零点.                             …………6分

②若,有唯一零点.                                           …………7分

③若,令得: .

在区间上, ,函数是增函数;

在区间上, ,函数是减函数;

故在区间上, 的极大值为.

由即,解得:.

故所求实数a的取值范围是.                                             …………9分

方法二、函数无零点方程即在上无实数解         …………4分

令，则

由即得：                                              …………6分

在区间上, ,函数是增函数;

在区间上, ,函数是减函数;

故在区间上, 的极大值为.                                    …………7分

注意到时，；时；时，

故方程在上无实数解.

即所求实数a的取值范围是.                                               …………9分

[注:解法二只说明了的值域是,但并没有证明.]

 (3) 设

,

原不等式

令,则,于是.                           …………12分

设函数,

求导得:

故函数是上的增函数,

即不等式成立,故所证不等式成立.                   ……………………14分

【解析】略