Question

（本小题满分13分）已知函数．

（1）若为函数的一个极值点，试确定实数的值，并求此时函数的极值；

（2）求函数的单调区间．

Answer

解：（1）∵f（x）=2x3－3ax2+1，∴=6x2－6ax．……………1分

依题意得=6－6a=0，解得a=1．          ……………2分

此时=6x（x－1）．令=0，解得x=0或x=1．……………3分

列表如下：……………5分

x

（-∞，0）

0

（0，1）

1

（1，+∞）

f′（x）

+

0

－

0

＋

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

∴当x=0时，函数f（x）取得极大值f（0）=1；

当x=1时，函数f（x）取得极小值f（1）=0．……………6分

（2）∵=6x2－6ax=6x（x－a），

∴①当a=0时，=6x2≥0，

函数f（x）在（－¥，+¥）上单调递增；……………7分

②当a>0时，=6x（x－a），、f（x）随x的变化情况如下表：

x

（-∞，0）

0

（0，a）

a

（a，+∞）

f′（x）

+

0

－

0

＋

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

由上表可知，函数f（x）在（－¥，0）上单调递增，在（0，a）上单调递减，在（a，+¥）上单调递增；……………………………………………………9分

③同理可得，当a<0时，函数f（x）在（－¥，a）上单调递增，在（a，0）上单调递减，在（0，+¥）上单调递增．…………………………………………………11分

综上所述，当a=0时，函数f（x）的单调递增区间是（－¥，+¥）；

当a>0时，函数f（x）的单调递增区间是（－¥，0）和（a，+¥），

单调递减区间是（0，a）；

当a<0时，函数f（x）的单调递增区间是（－¥，a）和（0，+¥），

单调递减区间是（a，0）．……………………………………………………13分

【解析】略