Question

如图，、为圆柱的母线，是底面圆的直径，、分别是、的中点，．

（1）证明：；

（2）求四棱锥与圆柱的体积比；

（3）若，求与面所成角的正弦值．

Answer

【解析】
（1）证明：连结，.分别为的中点，∴.

又，且.∴四边形是平行四边形，

即. ∴.    ………………………4分

（2）由题，且由（1）知.∴，∴ ，∴.

因是底面圆的直径，得，且，

∴，即为四棱锥的高．设圆柱高为，底半径为，

则，

∴：.  ………………………9分

（3）解一：由(1)(2)可知，可分别以为坐标轴建立空间直角标系，如图

设，则，，，从而，

，由题，是面的法向量，设所求的角为.

则. …………………14分

解二：作过的母线，连结，则是上底面圆的直径，连结，

得，又，∴，连结，

则为与面所成的角，设，则

，.……12分

在中，

【解析】略