Question

（本小题满分14分）

   已知函数R, .

（1）求函数的单调区间；

 （2）若关于的方程为自然对数的底数)只有一个实数根, 求的值.

Answer

(1)解: 函数的定义域为.

     ∴.

 ① 当, 即时, 得,则.

  ∴函数在上单调递增.                 ……2分

 ② 当, 即时, 令  得,

解得.                           

(ⅰ) 若, 则.

∵, ∴,∴函数在上单调递增.… 4分

 (ⅱ)若,则时, ;

      时, ,

∴函数在区间上单调递减,

在区间上单调递增.…… 6分

综上所述, 当时, 函数的单调递增区间为;  

当时, 函数的单调递减区间为,

单调递增区间为  …… 8分

(2) 解: 由, 得, 化为.

令, 则.令, 得.

当时, ; 当时, .

∴函数在区间上单调递增, 在区间上单调递减.

∴当时, 函数取得最大值, 其值为.       …… 10分

而函数,

当时, 函数取得最小值, 其值为.      …… 12分

∴ 当, 即时, 方程只有一个根.…… 14分

【解析】略