Question

（本小题满分14分）

如图，四边形为矩形，且，，为上的动点.

(1) 当为的中点时，求证：；

(2) 设，在线段上存在这样的点E，使得二面角的平面角大小为. 试确定点E的位置.

Answer

方法一：(1) 证明：当为的中点时，，从而为等腰直角三角形，

则，同理可得，∴，于是，…2分

又，且，∴，

…………………4分  

∴，又，∴. …………………………6分

（也可以利用三垂线定理证明，但必需指明三垂线定理）

（还可以分别算出PE，PD，DE三条边的长度，再利用勾股定理的逆定理得证，也给满分）

(2) 如图过作于，连，则，…7分

∴为二面角的平面角.     ……………9分

设，则.

…………11分

于是 ……………………………13分

，有解之得。

点在线段BC上距B点的处. ………………………………14分

方法二、向量方法.以为原点，所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图. …………………………1分

（1）不妨设，则，

从而，………………………5分

于是，

所以所以  ………………………6分

（2）设，则，

则    .……………………………………10分

易知向量为平面的一个法向量.设平面的法向量为，

则应有 即解之得，令则，，

从而，…………………………………………………………12分

依题意，即，

解之得（舍去），……………………………………13分

所以点在线段BC上距B点的处  .………………………………14分

【解析】略