Question

（本题满分14分）已知函数(常数.

(Ⅰ) 当时，求曲线在点处的切线方程；

(Ⅱ)讨论函数在区间上零点的个数（为自然对数的底数）.

Answer

【解析】
(Ⅰ)当 时，.          …1分

.              又，                         

∴曲线在点处的切线方程为.即.…3分

(Ⅱ)（1）下面先证明：．

设 ，则，

且仅当，所以，在上是增函数，故．

所以，，即． …………………………5分

（2）因为，所以.

因为当时，，当时，.

又，所以在上是减函数，在

上是增函数.所以，  …9分

（3）下面讨论函数的零点情况．

①当，即时，函数在上无零点；

②)当，即时，，则

而，∴在上有一个零点；  

③当，即时， ,

由于，，

，

所以，函数在上有两个零点. ……………………………………13分

综上所述，在上，我们有结论：当时，函数无零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点.            ………………………………14分

解法二：(Ⅱ)依题意，可知函数的定义域为，

 .       ………5分

∴当时，，当时，.

在上是减函数，在上是增函数.

         ……………………6分

设（，常数.

∴当时，

且仅当时，在上是增函数.

∴当时，，∴当时，

取，得由此得.        …………9分

取得由此得.      

                                                                 …10分

(1)当，即时，函数无零点；   ………………………11分

(2)当，即时，，则 而，

∴函数有一个零点；   …12分  

(3)当即时.而，

∴函数有两个零点.  …13分   综上所述，当时，函数无零点，当

时，函数有一个零点，当时，函数有两个零点.   …14分

【解析】略