Question

（本小题满分12分）

如图某市现有自市中心O通往正西和北偏东30°方向的两条主要公路，为了解决该市交通拥挤问题，市政府决定修建一条环城公路．分别在通往正西和北偏东30°方向的公路上选用A、B两点，使环城公路在A、B间为直线段，要求AB路段与市中心O的距离为10 km，且使A、B间的距离|AB|最小．请你确定A、B两点的最佳位置．

Answer

如图，令|OA|＝a，|OB|＝b，则在△AOB中，∠AOB＝120°. …………2分

∴|OC||AB|＝absin120°.

∴|AB|＝. ①  …………………………………………………………4分

又由余弦定理，

|②      …………………6分

由①②知≥3ab.                                

∵ab＞0，∴ab≥400 ③    ……………………………………………8分

③代入①得|AB|＝≥20．

当a＝b时|AB|取得最小值．…………………………………………………10分

而a＝b时，△AOB为等腰三角形，

∴∠OAB＝∠OBA＝30°.

∴a＝b＝20.

∴A、B两点的最佳位置是距市中心O均为20km处.  ………………………12分

【解析】略