Question

（本小题满分14分）

已知x＝4是函数f（x）＝alnx＋x²－12x+11的一个极值点．

（1）求实数a的值；

（2）求函数f（x）的单调区间；

（3）若直线y＝b与函数y＝f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．

Answer

（1）∵f′（x）＝＋2x－12，

∴f′（4）＝＋8－12＝0

因此a＝16   ……………………………………………3分

（2）由（1）知，

f（x）＝16lnx＋x2－12x＋11，x∈（0，＋∞）

f′(x)＝…………………………5分

当x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)＞0

当x∈(2,4)时，f′(x)＜0……………………………………………7分

所以f(x)的单调增区间是(0,2)，(4，＋∞)

f(x)的单凋减区间是(2,4) ……………………………………………………………………8分

(3)由(2)知，f(x)在(0,2)内单调增加，在(2,4)内单调减少，在(4，＋∞)上单调增加，且当x＝2或x＝4时，f′(x)＝0

所以f(x)的极大值为f(2)＝16ln2－9，极小值为f(4)＝32ln2－21

因此f(16)＝16ln16+162－12×16+11＞16ln2－9＝f(2)

f(e－2)＜－32＋11＝－21＜f(4)

所以在f(x)的三个单调区间(0,2)，(2,4) ，(4，＋∞)内，直线y＝b与y＝f(x)的图象各有一个交点，

当且仅当f(4)＜b＜f(2)成立………………………………………………………………………………13分

因此，b的取值范围为（32 ln2－21,16ln2－9）． …………………………………………………………14分

【解析】略