Question

(本小题满分14分)如图，为圆柱的母线，是底面圆的直径，

    分别是的中点，DE⊥面CBB₁.

    (Ⅰ)证明：DE //面ABC；

    (Ⅱ)求四棱锥与圆柱的体积比;

    (Ⅲ)若,求与面所成角的正弦值.

Answer

解:证明:连结.

分别为的中点,∴.…2分

又，且.

∴四边形是平行四边形，

即.………………3分

∴.………………4分

∵，且由知.

∴,∴,∴.………………6分

因是底面圆的直径，得，且,

∴即为四棱锥的高. ………………………………7分

设圆柱高为，底半径为，则，,

∴.………………………………9分

解一：由可知，可分别以为

坐标轴建立空间直角标系，如图设，

则,,,

从而,

，由题设知是面的法向量，

设所求的角为.…………………………………12分则

.………………………………14分

解二：作过的母线，连结，则是上底

面圆的直径，连结，得，

又,∴，连结,

则为与面所成的角,

设，则,.(12分),

在中，.(14分)

【解析】略