Question

（本小题满分14分）

已知函数，设曲线在与轴交点处的切线为

，为的导函数，满足．

（1）求；

（2）设，，求函数在上的最大值；

（3）设，若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer

【解析】
（1），                       ………………………………1分

，函数的图像关于直线对称，则．……2分

直线与轴的交点为，

，且，

即，且，

解得，．                       …………………………………………4分

则．                 …………………………………………5分

（2），

     ………………………………………7分

其图像如图所示．

当时，，根据图像得：

（ⅰ）当时，最大值为；

（ⅱ）当时，最大值为；

（ⅲ）当时，最大值为．    …………………………………10分

（3）方法一：，

，，

当时，，

不等式恒成立等价于且恒成立，

由恒成立，得恒成立，

当时，，，

，                            ……………………………………………12分

又当时，由恒成立，得，

因此，实数的取值范围是．              …………………………………14分

方法二：（数形结合法）作出函数的图像，其图像为线段（如图），

的图像过点时，或，

要使不等式对恒成立，

必须，     …………………………………12分

又当函数有意义时，，

当时，由恒成立，得，

因此，实数的取值范围是．              …………………………………14分

方法三：， 的定义域是，

要使恒有意义，必须恒成立，

，，即或． ………………①       …………………12分

由得，

即对恒成立，

令，的对称轴为，

则有或或

解得．  ………………②

综合①、②，实数的取值范围是．        …………………………………14分

【解析】略