Question

如图，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的各棱长都等于2，D在AC₁上，F为BB₁中点，且FD⊥AC₁.

   （1）试求的值；

   （2）求二面角F－AC₁－C的大小；

   （3）求点C₁到平面AFC的距离.

Answer

本小题考查空间线线、线面关系及二面角的求法.

解（解法一）（1）连AF，FC1，因为三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱且各棱长都等于2，又F为BB1中点，∴Rt△ABF≌Rt△C1B1F，

∴AF＝FC1.  又在△AFC1中，FD⊥AC1，

所以D为AC1的中点，即.（4分）

   （2）取AC的中点E，连接BE及DE，

则得DE与FB平行且相等，所以四边形DEBF是平行四边形，所以FD与BE平行.

因为三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱，

所以△ABC是正三角形，∴BE⊥AC，∴FD⊥AC，又∵FD⊥AC1，∴FD⊥平面ACC1，

∴平面AFC1⊥平面ACC1    所以二面角F－AC1－C的大小为. （9分）

   （3）运用等积法求【解析】
AC＝2，AF＝CF＝，可求，

，

，得. （12分）

（解法二）取BC的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系.

由已知得

（1）设，则,

得，

即

解得，即. （4分）

   （2）设平面FAC1的一个法向量为

，由得，

又由，得，

仿上可得平面ACC1的一个法向量为. （6分）

.故二面角F－AC1－C的大小为. （8分）

   （3）设平面AFC的一个法向量为，

由得， 由得.

解得

所以C1到平面AFC的距离为

【解析】略