Question

（本小题满分14分）已知函数对于任意都有且当时，有。

（1）   判断的奇偶性与单调性，并证明你的结论；

（2）   设不等式对于一切恒成立，求整数的最小值。

Answer

【解析】
（1）令，得，解得

令得，

所以，是奇函数。                               ………………………3分

设，则，由条件得，

因此，

所以，在上为减函数。                 ………………………6分

（2）由，得，因此，，所以原不等式可化为；

①当时，由数学归纳法可证得

下面用数学归纳法证明。（）

ⅰ。当时，左边==右边，等式成立。

ⅱ。假设时等式成立，即。

    当时，

   这说明当时等式也成立。

   根据ⅰ、ⅱ可知，对任意，均有成立。

②当时，式显示成立；

③当时，由奇函数性质可证明式也成立；

所以，有，

由单调性得，对于恒成立。………………10分

解法一：由恒成立，令。

由基本不等式可得，因此，

又由，得。                                   ………………14分

解法二：设，

对于恒成立。

①若，此时无解；

②若。

③若。

综上可得：又，所以。               ………………14分

解法三:由已知易得，令，得，因此，即，又由于可取到，所以。                             ………………14分

【解析】略