Question

(本题满分14分)

已知正项数列满足：对任意正整数，都有成等差数列，成等比数列，且

（Ⅰ）求证：数列是等差数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

(Ⅲ) 设如果对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer

【解析】
（I）由已知，得 ①，   ② .    --------------2分

由②得  ③.将③代入①得，

对任意，有

即

是等差数列.                                 ------------------4分

（Ⅱ）设数列的公差为，

由经计算，得          --------------------5分

            ----------------------7分

                 ---------------------8分

（Ⅲ）由（1）得      

       ----------9分

不等式化为

即

设，则对任意正整数恒成立．  ---------10分

当，即时，不满足条件；                              

当，即时，满足条件；                                

当，即时，的对称轴为，关于递减，

因此，只需 解得             ------------------13分

综上，                      ---------------------------------------------------------14分

【解析】略