Question

（本小题满分14分）

已知函数．

（Ⅰ）求证：存在定点，使得函数图象上任意一点关于点对称的点也在函数的图象上，并求出点的坐标；

（Ⅱ）定义，其中且，求；

（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的，求证：对于任意都有．

Answer

21．(本题满分14分)

【解析】
（Ⅰ）显然函数定义域为（0，1）. 设点M的坐标为（a, b），

则由

对于恒成立，于是解得             

所以存在定点，使得函数f(x)的图象上任意一点P关于M点对称的点Q也在函数f(x)的图象上.                                              ……4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ∵  ……①

∴                             ……②

①+②，得，∴，故        ……8分

（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，

于是等价于                 ……10分

令，则，

∴当时，，即函数在上单调递增，又g(0)=0.

于是，当时，恒有，即恒成立.  …12分

故当时，有成立，取，

则有成立.                                       ……14分

【解析】略