Question

．．（本题14分）已知为常数，且，函数，（，为自然对数的底数）

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）当时，是否同时存在实数和（＜），使得对每一个，直线与曲线（）都有公共点？若存在，求出最小的实数和最大的实数；若不存在，说明理由．

Answer

【解析】
（Ⅰ）由 得                    -------------2分

（Ⅱ）由（Ⅰ），∴ -------------3分

 ∵ 故：

当 时，由 得，由 得，

当 时，由 得，由 得，；

综上，当 时，的递增区间为，递减区间为；----------7分

     当 时，的递增区间为，递减区间为。----------8分

（Ⅲ）当时，，

由（Ⅱ）可得，当在区间变化时，，随的变化情况如下表：

1

－

0

＋

极小值1

1

------------------------------------------11分

又，所以，函数（）的值域为，--------------12分

所以，若，则对每一个，直线与曲线（）都有公共点，且对每一个，直线与曲线（）都没有公共点．

综上，当时，存在最小的实数，最大的实数，使得对每一个，直线与曲线（）都有公共点．----------------------14分

【解析】略