（本小题满分14分）已知函数，．（1）当时，求曲线在点（3,）处的切线方程；...

（本小题满分14分）已知函数，．

（1）当时，求曲线在点（3,）处的切线方程；

（2）当函数在上有唯一的零点时，求实数的取值范围．

【解析】 (1)当a=0时，， ∴f(3)=1， ∵f'(x)=x2-2x ………3分曲线在点(3，1)处的切线的斜率k=f'(3)=3 ………4分 ∴所求的切线方程为y-1=3(x-3)，即y=3x-8 ………6分 (2)∵f'(x)=x2-2(2a+1)x+3a(a+2)=(x-3a)(x-a-2) ∴x1=3a，x2=a+2 ①当x1=x2时，3a=a+2，解得a=1，这时x1=x2=3，函数y=f'(x)在(0，4)上有唯一的零点，故a=1为所求；………7分 ②当x1>x2时，即，这时x1>x2>3，又函数y=f'(x)在(0，4)上有唯一的零点， ..........10分 ③当x1

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考点分析：

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（本小题满分14分）某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为（米），外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）为（米）.