Question

(本小题满分12分)

 过点P（1，4）作直线L，直线L与x,y的正半轴分别交于A,B两点，O为原点,

①△ABO的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程；

②当|OA|+|OB|最小时，求此时直线L的方程

Answer

【解析】
依题意可设直线l的方程为:(a>0 , b>0 )

则A(a , 0 ), B(0,b ), 直线L过点P（1，4）, ∴ , ……………2分

又a>0 , b>0

∴

………………4分

当且仅当取等号, S的最小值为8

此时直线方程为：，即：4x + y - 8＝0…………………6分

②|OA|+|OB|= a + b = (a + b )()=5 + ……8分

当且仅当取等号, ……10分

|OA|+|OB|的值最小, 此时直线方程为：即：2x + y - 6＝0……12分

法二：①依题意可设直线l的方程为:y-4 = k ( x -1 ) ( k<0 )

令 x = 0 , 则y = 4 – k ,B( 0 , 4-k) ;令 y = 0 , 则x =+1 ,A (+1, 0)…2分

S =(4-k)( +1)= (- k + 8 )≥8 ，…………4分

当且仅当-16/k = -k时，即 k = -4时取等号, S的最小值为8 ，

此时直线方程为：y-4 = -4( x -1 )，即：4x + y - 8＝0…………6分

②|OA|+|OB|=( +1) + (4-k) = -k + 5 ≥4 + 5 =9 ，……8分

当且仅当= -k时，即 k = -2时取等号, |OA|+|OB|的值最小, ……………10分

此时直线方程为：:y-4 = -2 ( x -1 )  即：2x + y - 6＝0……………12分

【解析】略