Question

(12分)如图7-15，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，各棱长都等于a,D、E分别是AC₁、BB₁的中点，

（1）求证：DE是异面直线AC₁与BB₁的公垂线段，并求其长度；

（2）求二面角E—AC₁—C的大小；

（3）求点C₁到平面AEC的距离。

Answer

（1）过D在面AC1内作FG∥A1C1分别交AA1、CC1于F、G，则面EFG∥面ABC∥面A1B1C1，

∴△EFG为正三角形，D为FG的中点，ED⊥FG。

连AE，  ∵D、E分别为的中点，

∴   。又∵面EFG⊥BB1，

∴ED⊥BB1，故DE为AC1和BB1的公垂线，计算得DE=a。

（2）∵AC=CC1，D为AC1的中点，∴CD⊥AC1，又由（1）可知，ED⊥AC1，∴∠CDE为二面角E—AC1—C的平面角，计算得∠CDE=90°。或由（1）可得DE⊥平面AC1，∴平面AEC1⊥平面AC1，∴二面角E—AC1—C为90°。

（3）用体积法得点C1到平面ACE的距离为a。

【解析】略