Question

(本题满分14分)如图所示，圆柱的高为2，底面半径为,AE、DF是圆柱的两条母线，过作圆柱的截面交下底面于.

（1）求证：；

（2）若四边形ABCD是正方形，求证；

（3）在（2）的条件下，求四棱锥的体积.

Answer

（1）证明：在圆柱中：

 上底面//下底面，

且上底面∩截面ABCD＝，下底面∩截面ABCD＝

//……………………………………………………………………….２分

又AE、DF是圆柱的两条母线，

是平行四边形，所以，又//

…………………………………………………………………….５分

（2）AE是圆柱的母线，

下底面，又下底面，…………………………….７分

又截面ABCD是正方形，所以⊥，又

⊥面，又面，……………………………9分

（3）因为母线垂直于底面，所以是三棱锥的高……………………１０分，

EO就是四棱锥的高……………………10分

设正方形ABCD的边长为x,则AB=EF=x，

又，且，EF⊥BE, BF为直径，即BF＝

在中，

即

，……………………………………………………………１２分

………………………１４分

【解析】略