Question

．(本小题满分14分)已知函数（，是不同时为零的常数），其导函数为.

（1）当时，若不等式对任意恒成立，求的取值范围；

（2）求证：函数在内至少存在一个零点；

（3）若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于的方程在上有且只有一个实数根，求实数的取值范围.

Answer

【解析】
（1）当时，，………１分

依题意 即恒成立

，解得

所以b的取值范围是…………………………………４分

（2）证明：因为，

解法一：当时，符合题意. ……………………………５分

当时，，令，则，

令，， 当时，，

在内有零点；……………………………７分

当时，，

在内有零点.

当时，在内至少有一个零点.

综上可知，函数在内至少有一个零点. ……………………………９分

解法二：，，

.

因为a，b不同时为零，所以，故结论成立.

（3）因为为奇函数，所以，所以，.

又在处的切线垂直于直线，所以，即.

……………………………………………………………………………………１０分

1

在，上是单调递增函数，在上是单调递减函数，由解得，，

法一:如图所示，作与的图像，若只有一个交点，则

①当时，，

x

y

即，解得；

-1

x

y

O

O

①

-1

t

②当时，，

解得；

②

③当时，显示不成立；

-1

t

x

④

y

④当时，，

t

x

O

y

即，解得；

⑤当时，，

y

O

解得；

t

x

⑥当时，.

………………………………………………………………１３分

综上t的取值范围是或或.………………１４分

法二：由,.

作与的图知交点横坐标为，

当时，过图象上任意一点向左作平行于轴的直线与都只有唯一交点，当取其它任何值时都有两个或没有交点。

所以当时，方程在上有且只有一个实数根.

【解析】略