Question

(本小题满分12分）已知函数．

（I）当时，如果关于的方程：有且只有一个解，求实数的取值范围；

（II）当时，试比较与1的大小；

（Ⅲ）求证：．

Answer

【解析】
（1）当时，，定义域是，

， 令，得或．  …1分

当或时，，当时，，

   函数在、上单调递增，在上单调递减．  ……………2分

的极大值是，极小值是．

当时，； 当时，，

当仅有一个零点时，的取值范围是或．……………4分

  （2）当时，，定义域为．

      令，

       ，

       在上是增函数．              …………………………………8分

①当时，，即；

②当时，，即；

③当时，，即．  …………………………………8分

（3）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．

令，则有，    ． ……………10分

，

．                ……………………………………12分

 (法二)当时，．

，，即时命题成立．   ………………………………9分

设当时，命题成立，即 ．

 时，．

根据（2）的结论，当时，，即．

令，则有，

则有，即时命题也成立．……………11分

因此，由数学归纳法可知不等式成立．                 ………………………………12分

【解析】略