Question

（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=2，E是PB的中点，F是AD的中点．

⑴求异面直线PD与AE所成角的大小；

⑵求证：EF⊥平面PBC ；

⑶求二面角F—PC—B的大小．

Answer

解法1：（Ⅰ）连结BD    ∵PD⊥平面ABCD，

∴平面PDB⊥平面ABCD，

过点E作EO⊥BD于O，连结AO.

则EO∥PD，且EO⊥平面ABCD.

∴∠AEO为异面直线PD，AE所成的角…………3分

∵E是PB的中点，则O是BD的中点，且EO=PD=1.

在Rt△EOA中，AO=，  .

即异面直线PD与AE所成角的大小为 …………………………… 4分

（Ⅱ）连结FO，    ∵F是AD的中点，         ∴OF⊥AD.∵EO⊥平面ABCD，

由三垂线定理，得EF⊥AD.又∵AD∥BC，∴EF⊥BC. …………………………… 6分

连结FB.可求得FB = PF =则EF⊥PB.又∵PB∩BC = B，∴EF⊥平面PBC. …………………8分

（Ⅲ）取PC的中点G，连结EG，FG.则EG是FG在平面PBC内的射影

∵PD⊥平面ABCD，  ∴PD⊥BC又DC⊥BC，且PD∩DC = D，

∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥PC，∵EG∥BC，则EG⊥PC∴FG⊥PC

∴∠FGE是二面角F—PC—B的平面角 ………………………………………10分

在Rt△FEG中，EG=BC = 1，GF = ，

 ∴二面角F—PC—B的大小为…12分

解法2：如图，建立空间直角坐标系，

依题意，点

.

(1)由于

所以，

所以，异面直线PD与AE所成的角为

（2）,

设为平面PBC的一个法向量，则

，令，得

又，

  ， 从而 .

(2)设为平面PCE的一个法向量，，

由，令，得

所以，二面角F—PC—B为

【解析】略