Question

如图，在三棱锥中，底面，，是的中点，且，．

（1）求证：平面平面；

（2）当角变化时，求直线与平面所成的角的取值范围

Answer

解法1：（1）     是等腰三角形,

又是的中点      ，         ………..…………1分

又底面                    ………………2分

于是平面．                           ………………3分

又平面     平面平面．      …………4分

（2）过点在平面内作于，连接        ………………5分

则由（1）知AB⊥CH，  ∴CH⊥平面               ………………6分

于是就是直线与平面所成的角            ………………7分

在中，CD=，   ；     ………………8分

设，在中，          ………………9分

               ………………10分

，……11分

又，

即直线与平面所成角的取值范围为．

                   ……12分

解法2：（1）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，…1分

于是，，，．

从而，即．…2分

同理，…3分

即．又，平面．

又平面．平面平面. ………4分

（2）设直线与平面所成的角为，平面的一个

法向量为，则由．

得   ………………6分

可取，又，

于是，               ………10分

，，．又，．

即直线与平面所成角的取值范围为．

【解析】略