Question

（14分）如图，圆柱内有一个三棱柱,三棱柱的  底面为圆柱

底面的内接三角形，且是圆的直径。

（I）证明：平面平面；

（II）设，在圆柱内随机选取一点，记该点取自三棱柱内的概率为。

（i）当点在圆周上运动时，求的最大值；

（ii）如果平面与平面所成的角为。当取最大值时，求的值。

Answer

【解析】
（Ⅰ）因为平面ABC，平面ABC，所以，

因为AB是圆O直径，所以，又，所以平面，

而平面，所以平面平面。

（Ⅱ）（i）设圆柱的底面半径为，则AB=，故三棱柱的体积为

=，

又因为，

所以=，当且仅当时等号成立，

从而，而圆柱的体积，

故=当且仅当，即时等号成立，

所以的最大值是。

（ii）由（i）可知，取最大值时，，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），则C（r，0，0），B（0，r，0），（0，r，2r），

因为平面，所以是平面的一个法向量，

设平面的法向量，

由，故，

取得平面的一个法向量为，因为，

所以。

【解析】略