Question

（12分）证明以下命题：

（Ⅰ）对任一正整a,都存在整数b,c（b<c），使得成等差数列。

（Ⅱ）存在无穷多个互不相似的三角形△，其边长为正整数且成等差数列。

Answer

【解析】
（Ⅰ）考虑到结构要证，；类似勾股数进行拼凑。

证明：考虑到结构特征，取特值满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立。

结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。

证明：当成等差数列，则，

分解得：

选取关于n的一个多项式，做两种途径的分解

对比目标式，构造，由第一问结论得，等差数列成立，

考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。

下证互不相似。

任取正整数m，n，若△m，△相似：则三边对应成比例，

由比例的性质得：，与约定不同的值矛盾，故互不相似。

【解析】略