Question

（12分） 已知二次函数

为常数）；．若直线₁、₂与函数的图象以及₂，y轴与函数的图象

所围成的封闭图形如阴影所示． 

（1）求、b、c的值；

（2）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；

（3）若问是否存在实数m，使得的图象与的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer

【解析】

（I）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且f(x)的最大值为16

则，

∴函数f（x）的解析式为

（Ⅱ）由得

∵0≤t≤2，∴直线l1与f（x）的图象的交点坐标为（

由定积分的几何意义知：

（Ⅲ）令

因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数

的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点

∴x=1或x=3时，

当x∈（0，1）时，是增函数；

当x∈（1，3）时，是减函数

当x∈（3，+∞）时，是增函数

∴

又因为当x→0时，；当

所以要使有且仅有两个不同的正根，必须且只须

即， ∴m=7或

∴当m=7或时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点。

【解析】略