（本小题满分12分）已知函数．（1）若为函数的一个极值点，试确定实数的值，并求...

（本小题满分12分）已知函数．

（1）若为函数的一个极值点，试确定实数的值，并求此时函数的极值；

（2）求函数的单调区间．

解：（1）∵f（x）=2x3－3ax2+1，∴=6x2－6ax．依题意得=6－6a=0，解得a=1．所以f（x）=2x3－3x2+1，=6x（x－1）．令=0，解得x=0或x=1．列表如下： x （-∞，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞） f′（x） + 0 － 0 ＋ f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以当x=0时，函数f（x）取得极大值f（0）=1；当x=1时，函数f（x）取得极小值f（1）=0．（2）∵=6x2－6ax=6x（x－a）， ∴①当a=0时，=6x2≥0，函数f（x）在（－¥，+¥）上单调递增； ②当a>0时，=6x（x－a），、f（x）随x的变化情况如下表： x （-∞，0） 0 （0，a） a （a，+∞） f′（x） + 0 － 0 ＋ f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由上表可知，函数f（x）在（－¥，0）上单调递增，在（0，a）上单调递减，在（a，+¥）上单调递增； ③同理可得，当a<0时，函数f（x）在（－¥，a）上单调递增，在（a，0）上单调递减，在（0，+¥）上单调递增．综上所述，当a=0时，函数f（x）的单调递增区间是（－¥，+¥）；当a>0时，函数f（x）的单调递增区间是（－¥，0）和（a，+¥），单调递减区间是（0，a）；当a<0时，函数f（x）的单调递增区间是（－¥，a）和（0，+¥），单调递减区间是（a，0）．【解析】略

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本小题满分12分）

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