Question

已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线是抛物线的一条切线．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点的动直线L交椭圆C于  A．B两点．问：是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T ? 若存在，求点T坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）由

因直线相切，，∴，…2分

∵圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角

形，∴              ………………4分

故所求椭圆方程为              ………………5分

（Ⅱ）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：

当L与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程：      

由

即两圆公共点（0，1）因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）       ………7分

（ⅰ）当直线L斜率不存在时，以AB为直径的圆过点T（0，1）

（ⅱ）若直线L斜率存在时，可设直线L：

由

记点．           ………………9分

∴TA⊥TB,                  ………………11分

综合（ⅰ）（ⅱ），以AB为直径的圆恒过点T（0，1）．

【解析】略