Question

过曲线上的一点作曲线的切线，交x轴于点P₁，过P₁作垂直于x轴的直线交曲线于Q₁，过Q₁作曲线的切线，交x轴于点P₂；过P₂作垂直于x轴的直线交曲线于Q₂，过Q₂作曲线的切线，交x轴于点P₃；……如此继续下去得到点列：设的横坐标为

（I）试用n表示；

（II）证明：

（III）证明：

Answer

（Ⅰ），………1分

所以曲线在处的切线为：

设直线和x轴交点横坐标，即，另可解

则     ………………………………4分

（Ⅱ）当n≥3时，有………5分

  则当n≥3时，

另     ……………………8分

（Ⅲ）………………-9分

即

移项得：

【解析】略