Question

（本题满分12分如图，四边形为矩形，且，，为上的动点。

（1） 当为的中点时，求证：；

（2） 设，在线段上存在这样的点E，使得二面角的平面角大小为。试确定点E的位置。

Answer

方法一：（1） 证明：当为的中点时，，

从而为等腰直角三角形，

则，同理可得，∴，于是，………1分

又，且，∴，。………2分

∴，又，∴。……………………4分

（也可以利用三垂线定理证明，但必需指明三垂线定理）

（还可以分别算出PE，PD，DE三条边的长度，再利用勾股定理的逆定理得证，也给满分）（2） 如图过作于，连，则，………………………6分

∴为二面角的平面角．   ……………8分

设，则．

……………9分

于是 ………………………………10分

，有解之得。

点在线段BC上距B点的处。………………………12分

方法二、向量方法．以为原点，所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图………………………………1分

（1）不妨设，则，

从而，………………………2分

于是，

所以所以 ………………………………4分

（2）设，则，

则  ………………………………………………6分

易知向量为平面的一个法向量．设平面的法向量为，

则应有 即解之得，令则，，

从而，………………………………………………………………10分

依题意，即，

解之得（舍去），………………………………………………11分

所以点在线段BC上距B点的处。………………………………………………12分

【解析】略