Question

．（本小题满分16分）

已知椭圆上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长．（1）求椭圆的方程；

（2）设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；

（3）在（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于两点，求的取值

范围．

Answer

【解析】
（1）由题意知， 解得，

故椭圆的方程为．                 …………………………4分

（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为．

由  得．   ①

设点，，则．

直线的方程为．

令，得．

将，代入，

整理，得．    ②

由①得 ，代入②

整理，得．

所以直线与轴相交于定点．             …………………………10分

（3）当过点直线的斜率存在时，

设直线的方程为，，．

由  得．  

∴，， ．

则．

因为，所以．

所以．

当过点直线的斜率不存在时，其方程为．

解得，．

此时．

所以的取值范围是．              …………………………16分

【解析】略