Question

(本小题满分15分)已知椭圆C：+=1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点P(1，).

(1)求椭圆C的方程；

(2)设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M.问点M满足什么条件时，圆M与y轴有两个交点? 并求两点间距离的最大值.

Answer

(1)∵椭圆+=1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点P(1，)，

∴椭圆C的方程为+=1.

(2)易求得F(1，0)。设M(x0，y0)，则+=1，      

圆M的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=(1-x0)2+y02，

令x=0，化简得y2-2y0y+2x0-1=0，⊿=4y02-4(2x0-1)2＞0……①.

将y02=3(1-)代入①，得3x02+8x0-16＜0，解出 -4＜x0＜.

(3)设D(0，y1)，E(0，y2)，其中y1＜y2.由(2)，得

DE= y2- y1===，

当x0=-时，DE的最大值为.

【解析】略