Question

(本小题满分16分)记公差d≠0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁＝2＋，S₃＝12＋．

（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n；

（2）记b_n＝a_n－，若自然数n₁，n₂，…，n_k，…满足1≤n₁＜n₂＜…＜n_k＜…，并且，，…，，…成等比数列，其中n₁＝1，n₂＝3，求n_k（用k表示）；

（3）试问：在数列{a_n}中是否存在三项a_r，a_s，a_t(r＜s＜t，r，s，t∈N*)恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）因为a1＝2＋，S3＝3a1＋3d＝12＋，所以d＝2．

所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋， Sn＝＝n2＋(＋1)n．

（2）因为bn＝an－＝2n，所以＝2nk．又因为数列{}的首项＝，

公比，所以．所以2nk，即nk．

（3）假设存在三项ar，as，at成等比数列，则，

即有，整理得．

若，则，因为r，s，t∈N*，所以是有理数，

这与为无理数矛盾；

若，则，从而可得r＝s＝t，这与r＜s＜t矛盾．

综上可知，不存在满足题意的三项ar，as，at．

【解析】略