Question

（本小题满分16分）对于函数，如果存在实数使得

，那么称为的生成函数．

（Ⅰ）下面给出两组函数，是否分别为的生成函数？并说明理由；

第一组：；

第二组：；

（Ⅱ）设，生成函数．若不等式

在上有解，求实数的取值范围；

（Ⅲ）设，取，生成函数使 恒成立，求的取值范围．

Answer

【解析】
（Ⅰ）① 设，即

，取，所以是的生成函数．……………………2分

② 设，即，

则，该方程组无解．所以不是的生成函数．………4分

（Ⅱ）…………………………5分

若不等式在上有解，

，即……7分

设，则，，……9分

，故，．………………………………………………………10分

（Ⅲ）由题意，得

 若，则在上递减，在上递增，

则，所以，得   …………12分

 若，则在上递增，则，

所以，得．………………………………………………14分

 若，则在上递减，则，故，无解

综上可知，………………………………………………………16分

【解析】略